黎曼，一位低调内向的数学大神

说到整个数学发展史，涌现出了很多了不起的大神级数学家，比如欧几里得、阿基米德、牛顿、高斯、欧拉等。

这些人要么开创了某一数学分支，要么发现了某一定理、公式，他们都对数学的发展做出了推动性、开创性的巨大贡献。

此外，还有一些名气稍低的数学家，如黎曼、庞加莱、笛卡尔、莱布尼茨等，他们也是数学发展过程中不可或缺的天才。

今天我们要说的这位，就是低调的大神黎曼，他虽没有高斯“数学王子”、阿基米德“数学之神”、欧几里得“几何之父”的华丽称号，但并不影响他在数学史上的成就。

有人认为，黎曼就是数学史上的“无冕之王”，实际情况又如何呢？他都有哪些数学成就？

黎曼，德国数学家，1826年出身于一个牧师家庭，在兄弟姐妹六人中排行老二。从小体弱多病且性格内向的他，喜欢独来独往，很少与人交际。

在父亲的熏陶下，黎曼从小就修习神学与哲学。除了学习之外，其余时间并非是去找朋友玩耍，而是在某个角落思考自己的身体是得了哪些病。

有人说他可能患有“疑病症”，大概与自身体弱多病有关吧。

20岁时，黎曼考入根廷根大学，专业还是哲学和神学。在教授高斯的影响下，黎曼经常去听数学讲座，最终更换到数学专业。

25岁时，黎曼获得哥廷根大学获博士学位。他的数学成就也从此开始。

同年，柯西-黎曼方程问世。两年后，黎曼积分和三角级数收敛准则问世。又一年后，黎曼几何问世，这年黎曼28岁。

31岁那年，黎曼曲面问世。33岁时，迄今未被全部证明的黎曼猜想问世。

36岁那年，黎曼结婚。四年后，一代数学家死于肺结核，终年40岁。

这时的黎曼并不很出名，由于他的数学方法过于超前，未被当时的学界所欣赏。以现代人的眼光来看，黎曼的学术深度和重要在当时都是首屈一指的。

黎曼的数学成就主要有：黎曼几何、黎曼曲面、黎曼洛赫定理、黎曼映射定理、黎曼猜想等。下面我们逐一介绍。

黎曼几何

欧几里得的《几何原本》统治了数学界两千多年，直到19世纪初，罗巴切夫斯基才开创了第一种与欧氏几何不一样的非欧几何，被称为“罗氏几何”。

此后，非欧几何蓬勃发展，黎曼的椭圆几何就是后续非欧几何的典型代表。

黎曼几何既不同于欧氏几何，也不同于罗氏几何，他另辟蹊径，提出了：在同一平面内任何两条直线都有交点的新公设，其模型近似一个球面。

这三种几何学各自独立，都在自己的模型中构建了一个严密的公理体系。简而言之，欧氏几何是平面空间几何，罗氏几何是负曲率空间几何，黎曼几何是正曲率空间几何。

黎曼的正曲率空间具有开创性，他用“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”来代替欧氏几何中的第五公设，实质上是对“平行线”存在的一种否认。

这种几何也叫“球面几何”，现在被广泛用于航海、航空等领域。

后来，黎曼几何迅速发展，在代数拓扑学、偏微分方程、多复交函数论等等领域及现代物理学中发挥着重要作用。

爱因斯坦的广义相对论中的空间几何用的就是黎曼几何，爱因斯坦就是借鉴性的用到了黎曼的空间几何思想，其重要性可见一斑。

近代以来，黎曼几何已经成为数学中的一个重要工具，在微分几何、微分方程、变分法及复变函数等领域都有重要应用。

黎曼曲面

黎曼曲面，即一维复流形，是为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。牵扯到单/多复变函数论、复流形、代数几何/数论、自守函数等。

在复杂的数学分析中，一个黎曼曲面就是一个一维复流形。从每个点的局部来看，黎曼曲面好比一片复平面，但整体的拓扑有很大的不同。

黎曼曲面的几何性质最为巧妙，在特定条件下，也被推广到开曲面和高维复流形。希尔伯特提出的第22个问题就是靠此曲面原理解决的。

黎曼–罗赫/映射定理

黎曼–罗赫定理是研究复分析于代数几何的一个重要工具，可用来计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。

这个定理的前身是黎曼不等式，后来黎曼的学生罗赫证明了黎曼曲面的确定形式，最终推广到代数曲面和高维代数簇等。

黎曼映射用在复分析中，这个定理非常深刻，同时也是复变函数几何理论的最重要定理。

这个定理出现在黎曼的博士论文中，那个时候还不太完整，后来卡拉西奥多里在20世纪初补充完整。

黎曼猜想

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，希尔伯特在20世纪初提出的23个数学问题中，就有黎曼猜想。

很多人可能对费马猜想和哥德巴赫猜想耳熟能详，没怎么听说过黎曼猜想，但从数学的贡献度和重要性方面来讲，黎曼猜想要远超前两者。

据统计，目前有超千条的数学命题都是以黎曼猜想前提和基础。黎曼猜想就像一座高地，150多年以来，数学界一直无人攻克它。

黎曼猜想的初稿论文题目是“论小于给定数值的素数个数”，这篇论文仅有8页纸，便是黎曼猜想的源头。

黎曼猜想的核心，就是发现了素数分布的秘密完全蕴含在一个特殊的函数中，这个函数取值为零的一系列特殊点对素数分布的规律有着重要影响。

这个函数即黎曼ζ函数，特殊的点即非平凡零点。

黎曼猜想论文短小精悍，惜字如金而又字字珠玑，好多证明过程都以“证明从略”来代替，这便是引人入胜的地方，关键过程全略过。

这并非是黎曼已经证明过了而故意掩饰，实则是他自己也无法证明，但一个半世纪以来，就是没有能证明其真伪。

若从纯数学成就角度来看，黎曼在整个19世纪都算得上是一颗耀眼的数学明星，就算放在整个数学史上，也能进入前三甲（纯数学成就）。

不论是重要性、创造性，还是深度、广度，黎曼都要远超其他数学家。以现在的眼光来看，黎曼的数学成就具有统治性。

一般观点认为，发明数学定理或者开创某一数学分支，就已经是大神级的存在了。但黎曼所做的工作还要更高档一些，他是将各个分支进行大一统，构造出了诸多通用工具。

黎曼的思想、方法，直接将几何、分析、拓扑、数论，甚至是物理都串联起来。

假如没有黎曼几何，可能广义相对论还要晚一些才能问世。所以说，黎曼从事的数学工作都具有创造性，再找不到第二个像他这样带有大一统思想的数学家。

黎曼一生仅有18篇论文，但任何一篇都是超重量级的。除了上述成就外，黎曼还有柯西黎曼条件、黎曼积分、黎曼许瓦兹定理、黎曼泽塔函数等等。

黎曼的数学思想非常深邃，同时期并不被其他数学家所理解，他开辟的思想方法到了现代才大放光芒，其猜想也是50多年后被人问津。

“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。”这是黎曼之后的数学家克莱因对黎曼的评价。

综上所述，黎曼是19世纪数学史上最耀眼的那颗数学之星，可能有之一，但在笔者的认知范围中，黎曼就是那条街最靓的仔。